Die einzelnen Aufgabenblätter

Lineare Algebra II. SS 2005

• Routine-Aufgaben (Zum Üben).
• 13. Übungszettel: Hauptachsentransformation
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• 12. Übungszettel: Geometrie und symmetrische Matrizen
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  Die Abbildungen zur Aufgabe 1.
• 11. Übungszettel: Geometrie
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• 10. Übungszettel: Geometrie
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  Anlage
• 9. Übungszettel: Geometrie
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  (Die Nummerierung der Aufgaben ist offensichtlich falsch - tut mir leid.)
  Zur Aufgabe 2:
  • Die Abbildungen der Form t_a nennt man Translationen;
  • Unter einer Drehung soll hier (wie in der Elementargeometrie üblich) eine Drehung um einen beliebigen Punkt der Ebene verstanden werden (also nicht notwendig eine Drehung um den Ursprung).
  • Unter einer Spiegelung soll hier (wie in der Elementargeometrie üblich) eine Spiegelung an einer beliebigen Geraden g verstanden werden (g braucht also nicht durch den Ursprung zu gehen).
  • Unter einer Gleitspiegelung versteht man das folgende: Gegeben ist eine Gerade g = {a + λ b | λ in R }, dabei sind a, b Vektoren in R² mit b ≠ 0. Die zugehörige Gleitspiegelung ist die Hintereinanderschaltung der Spiegelung an der Geraden g mit der Translation um den Vektor b.
• 8. Übungszettel: Geometrie
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  In der Aufgabe 4 sollte es heißen "diskrete Untergruppe von R²", und nicht "diskrete Untergruppe von Z²".
• 7. Übungszettel: Noch einmal Rechenaufgaben - und einige Beweise (analog zum Fall der euklidischen Räume)
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• 6. Übungszettel: Ein Rechenzettel
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• 5. Übungszettel: Abbildungsräume, Dualraum
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  Fehler in der Aufgabe 3: in der letzten Zeile ist "W = " durch "Abb(S,W) =" zu ersetzen!
• 4. Übungszettel: Faktorräume, Endomorphismen
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• 3. Übungszettel: Faktorräume
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• 2. Übungszettel: Jordan'sche Normalform
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• 1. Übungszettel: Nilpotente Endomorphismen, nilpotente Matrizen
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Lineare Algebra I. WS 2004/05

• 13. Übungszettel: Endomorphismen
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• 12. Übungszettel: Lineare Abbildungen
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• 11. Übungszettel: Unterräume
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• Weihnachtszettel
  Ein Zusatzzettel, zum Üben - muss nicht abgegeben werden, bringt aber gegebenenfalls Zusatzpunkte.
  Auf der Rückseite: Zusätzliche Routine-Aufgaben.
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• 10. Übungszettel: Unterräume und Basen
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  Korrekturen:
  In Aufgabe 3 muss es heißen: "mit einem endl. Erzeugensystem E der Kardinalität m" (nicht "n")
  In Aufgabe 4 lautet die Behauptung: "{ f_i | i in N₀ } ist ..." (und nicht: "i in I"). -
• 9. Übungszettel: Verschiedenes
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• 8. Übungszettel: Polynome (und ganze Zahlen)
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• 7. Übungszettel
  • Eine Aufgabe zur Verwendung der komplementären Matrix
  • Transponieren
  • Lie-Klammer
  • Die Ordnung von GL(2,K)
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• 6. Determinanten, LR-Zerlegung Als dvi-File, als ps-File, als pdf-File
  (Korrigierte und ergänzte Fassung)
• 5. Ähnlichkeit. Permutationen. Als dvi-File, als ps-File, als pdf-File
• 4. Weiteres zur Matrizen-Multiplikation
  Als dvi-File, als ps-File, als pdf-File.
• 3. Mengen von Matrizen, die Ringe oder Gruppen sind.
  Als dvi-File, als ps-File, als pdf-File.
• 2. Matrizen.
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• 1. Grundbegriffe. Als dvi-File, als ps-File, als pdf-File
  Hinweise zum Aufgabenblatt 1:
  • Bei Aufgabe 3 darf folgende Eigenschaft der ganzen Zahlen verwendet werden:
    Satz ("Teilen mit Rest"): Sind a, b ganze Zahlen, b > 0, so gibt es ganze Zahlen q, r mit 0 ≤ r < b und a = qb+r.
    (Diese Eigenschaft der ganzen Zahlen sollte von der Schule her bekannt sein, im Laufe der Vorlesung wird später noch einmal darauf eingegangen.)
  • Bei Aufgabe 2 darf verwendet werden, dass √2 nicht rational ist. Allerdings sollte man sich in Erinnerung rufen, dass dies recht einfach zu beweisen ist. Hier ein Beweis, der die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nicht verwendet.

Musterlösungen

• Blatt 12 (von Lars Scheele)
• Weihnachtszettel (von Nils Mahrt)
• Blatt 9 (von Nils Mahrt)
• Blatt 8 (von Lars Scheele)
• Blatt 7 (von Nils Mahrt)
• Blatt 6 (von Lars Scheele)
• Blatt 5 (von Julia Sauter)
• Blatt 4 (von Nils Mahrt)
• Blatt 3 (wieder von Lars Scheele)
• Blatt 2 (wieder von Lars Scheele)
• Blatt 1 (von Lars Scheele)

Zusätzlich: Routine-Aufgaben

• 1. Matrizen-Multiplikation
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• 2. Gleichungs-Systeme, Matrizen-Invertierung, kleine Beweise.
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• Routine-Aufgaben befinden sich auch auf der Rückseite des Weihnachtszettels.
• 3. Eigenwerte, Eigenvektoren. Endomorphismen der Ebene R²
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Tests

• 1.Test. Als dvi-File, als ps-File, als pdf-File.
  Lösungsblatt: Als dvi-File, als ps-File, als pdf-File

Allgemeiner Hinweis